Увеличить экспорт по умолчанию в TypeScript?

TypeScript имеет возможности слияния объявлений, к сожалению, в вашем случае вы не сможете использовать его из-за его ограничений:

Запрещенные слияния Не все слияния разрешены в TypeScript. В настоящее время классы не могут объединяться с другими классами или с переменными. Информацию о том, как имитировать слияние классов, см. в разделе «Примеси в TypeScript».

Как говорится в документации, с другой стороны, вы можете использовать миксины для создания собственного класса, который расширяет Axios:

import { Axios } from "axios";

type AxiosConstructor = new (...args: any[]) => Axios;

function augmentAxios<T extends AxiosConstructor>(axios: T) {
    return class AugmentedAxios extends axios {
        newAbility() {}
    };
}

const AugmentedAxios = augmentAxios(Axios);

const augmentedAxios = new AugmentedAxios({});

augmentedAxios.post('http://test'); // Base ability
augmentedAxios.newAbility(); // New ability