Возврат Object.keys(obj) не отображается на экране

Не должно ли быть:

return (
    <div> // needs an element wrapper
        <input
            type='checkbox'
            className='form-checkbox'
            name = {product}
            value = {product}
            onChange = {this.gatherFormData}
        />
        <span className='label'>{product}</span>
    </div>
);

Как говорит jonrsharpe, вам также нужно использовать карту (forEach просто перебирает значения, но ничего не возвращает)

{Object.keys(flags).map(product => {

Возврат внутрь .forEach ничего не делает либо поместите данные в массив, чтобы использовать их позже, либо вместо этого вернитесь из метода .map

Вот пример, если вам нужно использовать .forEach, как в вашем вопросе...

{
const products = [];
Object.keys(flags).forEach(product => {
  products.push (
    <>
        <input
            type='checkbox'
            className='form-checkbox'
            name = {product}
            value = {product}
            onChange = {this.gatherFormData}
        />
        <span className='label'>{product}</span>
    </>
  );
})
return products;
}