Вставить NULL во внешний ключ, когда поле POST пусто

У меня есть таблица с именем внешнего ключа parent_id. я пытался вставить данные вот так:

 $parent = $_POST['parent_id'] ?? null;

        $data = [
            'name' => $_POST['name'],
            'skill_category_id' => $_POST['skill_category_id'],
            'parent_id' => $parent,
        ];

а в SQL я использую такой код:

public static function update(array $data): bool
    {
        $sql = 'UPDATE skill_types SET skill_category_id=:skill_category_id, parent_id=:parent_id, name=:name WHERE id=:id';

        $db = static::getDB();
        $stmt = $db->prepare($sql);

        $stmt->bindValue(':skill_category_id', $data['skill_category_id'], PDO::PARAM_INT);
        $stmt->bindValue(':parent_id', $data['parent_id']);
        $stmt->bindValue(':name', $data['name']);
        $stmt->bindValue(':id', $data['id'], PDO::PARAM_INT);

        return $stmt->execute();
    }

Я уже установил в своей таблице значение null, но это все равно вызывало ошибку:

General error: 1366 Incorrect integer value: '' for column 'parent_id' at row 1'

как я могу это исправить?