Вызов функции BackHandler только на одной странице

Вы можете реализовать флаг и соответствующим образом обновлять его при создании каждой страницы, чтобы указать, нужно ли отображать диалоговое окно или нет. Затем отредактируйте функцию backPress следующим образом:

var app = {
    backButtonDialog: true
};

backPress = () => {
    if (app.backButtonDialog){
        // Prompt for exit
        Alert.alert(
          'Exit app',
          'Exit app?',
          [
            { text: 'No', onPress: () => console.info('Cancel Pressed'), style: 'cancel' },
            { text: 'Yes', onPress: () => BackHandler.exitApp() },
          ],
          { cancelable: false })
        return true;
    }else{
        // Do nothing
        return false;
    }
}

Затем вы просто устанавливаете app.backButtonDialog = true;, когда вы хотите, чтобы диалоговое окно отображалось, и app.backButtonDialog = false;, когда вы хотите, чтобы кнопка возврата ничего не делала.