Ядра лапласиана высшего порядка в обработке изображений

Оператор Лапласа определяется как сумма вторых производных по каждой из осей изображения. (То есть это след матрицы Гессе):

• Δ я = (∂² / ∂Икс² + ∂² / ∂у²) я

Есть два распространенных способа дискретизировать это:

1. Используйте конечные разности. Оператор производной - это свертка с помощью [1,-1] или [0.5,0,-0.5], оператор второй производной, применяющий свертку [1,-1] дважды, что приводит к свертке с помощью [1,-2,1].

2. Сверните с производной ядра регуляризации. Оптимальным ядром регуляризации является гауссовский, приводящий к гауссовскому оператору Лапласа. Результатом является точный лапласа изображения, сглаженного гауссовым ядром.

Альтернативой является замена ядра регуляризации интерполирующим ядром. Мой бывший коллега опубликовал статью об этом методе:

A. Hast, "Simple filter design for first and second order derivatives by a double filtering approach", Pattern Recognition Letters 42(1):65-71, 2014.

Он использовал «двойной фильтр», но с линейными фильтрами, которые всегда можно упростить до одинарной свертки.

Идея состоит в том, чтобы взять интерполирующее ядро ​​и вычислить его производную в целочисленных точках. Интерполирующее ядро ​​всегда равно 1 в начале координат и 0 в других целочисленных точках, но оно проходит через эти «узловые точки», что означает, что его производная не равна нулю в этих целочисленных точках.

В крайнем случае возьмем идеальный интерполятор функция sinc:

• sinc (Икс) = sin (πИкс) / πИкс

Его вторая производная:

• d² / dИкс² (sinc (πИкс)) = [(2 - π²Икс²) sin (πИкс) - 2πИкс cos (πRR_32_RπR)] /

Выборка из 11 целочисленных местоположений приводит к:

[ 0.08 -0.125 0.222 -0.5 2 -3 2 -0.5 0.222 -0.125 0.08 ]

Но обратите внимание, что нормализация здесь неверна, так как мы отсекаем бесконечно длинное ядро. Таким образом, лучше выбрать более короткое ядро, например кубическое сплайн ядро.

Вторая альтернатива - вычислить оператор Лапласа через область Фурье. Это просто требует умножения на -πты³-πv², с ты и v частот.

Это некий код MATLAB, который применяет этот фильтр к изображению единичного импульса, приводя к изображению ядра размером 256x256:

[u,v] = meshgrid((-128:127)/256,(-128:127)/256);
Dxx = -4*(pi*u).^2;
Dyy = -4*(pi*v).^2;
L = Dxx + Dyy;
l = fftshift(ifft2(ifftshift(L)));
l = real(l);        % discard insignificant imaginary component (probably not necessary in MATLAB, but Octave leaves these values there)
l(abs(l)<1e-6) = 0; % set near-zero values to zero

l здесь тот же, что и результат выше для идеального интерполятора, добавляя вместе вертикальный и горизонтальный и нормализуя для длины 256.

Наконец, я хотел бы упомянуть, что оператор Лапласа очень чувствителен к шуму (высокие частоты значительно усиливаются). Обсуждаемые здесь методы имеют смысл только для данных без носа (предположительно синтетических данных?). Для любых реальных данных я очень рекомендую использовать Лапласа Гаусса. Это даст вам точный Laplace сглаженного изображения. Сглаживание необходимо для предотвращения воздействия шума. С небольшим шумом вы можете использовать маленькую гауссову сигму (например, σ = 0,8). Это даст вам гораздо больше полезных результатов, чем любой другой подход.