Запуск случайных символов в одной строке

Эта строка:

var insert = letters.charAt( Math.floor(Math.random()*letters.length) );

выполняется один раз и только один раз. Он не запускает случайную часть заново каждый раз, когда вы запрашиваете значение insert.

Вы можете повторно запускать его вручную в каждом цикле:

var letters = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789";
var str = "0";
for(i=0; i<20; i++) {

    setTimeout(function(){
      var insert = letters.charAt( Math.floor(Math.random()*letters.length) );
      var newStr = str.replace(/./, insert);
      console.info(newStr)
    }, 50*i)

}

Но имейте в виду, что вы можете получить один и тот же символ более одного раза, поскольку по определению он (псевдо) случайный - и, следовательно, вы можете выбрать тот же символ, который был выбран ранее.

Чтобы гарантировать получение случайного символа отчетливый каждый раз, вам придется удалить выбранный символ из списка. Проще сделать, преобразовав символы в массив и используя splice, чтобы удалить его после выбора:

var letters = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789".split("");
var str = "0";
for(i=0; i<20; i++) {

    setTimeout(function(){
      var insert = Math.floor(Math.random()*letters.length);
      var newStr = str.replace(/./, letters[insert]);
      console.info(newStr)
      letters.splice(insert,1);
    }, 50*i)

}