Как использовать $ emit внутри .then запроса Axios в Vue 3

Прежде всего, убедитесь, что ваш клиент успешно выполняет запрос.

Затем используйте функцию стрелки вместо определения анонимной функции для обработки результата обещания then. Теперь контекст this будет ссылаться на ваш компонент.

submitForm() {
  let formData = new FormData();
  formData.append("file", this.file);
  const config = {
    headers: {
      "Content-Type": "multipart/form-data"
    }
  };

  this.axios
    .post(
      "http://localhost/api.php",
      formData,
      config
    )
    .then((data) => { // like this
      this.$emit("serverReturnedData", data);
    })
    .catch(() => {
      console.info("FAILURE!!");
    });
}

Как сказал Hoangdv, вы должны использовать стрелочную функцию в предложении тогда. Также рассмотрите возможность использования kebab-case для именования событий, как рекомендовано в документация.

И наконец, как вы слушаете это настраиваемое событие в родительском компоненте? Должно получиться что-то вроде:

<parent-component v-on:your-custom-event = "someJavascript" />

если по какой-то причине вы не хотите использовать стрелочную функцию, вы можете написать это так

submitForm() {
    let formData = new FormData();
    let self = this; // <<<<< like this
    formData.append("file", this.file);
    const config = {
        headers: {
            "Content-Type": "multipart/form-data"
        }
    };

    this.axios
        .post(
            "http://localhost/api.php",
            formData,
            config
        )
        .then(function(data) {
            self.$emit("serverReturnedData", data);
        })
        .catch(function() {
            console.info("FAILURE!!");
        });
}