Как использовать searchBar с файлом JSON?

Это зависит от того, чего вы хотите, но обычно filteredData должно быть [DetailSection].

Без проверки случая для упрощения логики:

for item in detailsSection { 
    if item.title.contains(searchText) { 
        filteredData.append(item) 
    } else if item.translation.contains(searchText) {
        filteredData.append(item)
    } else { 
        print("\(searchText) not found title \(item.title) nor in translation \(item.translation)) 
    }
}

Конечно, это можно упростить, но явный код должен объяснять логику.

Боковое примечание: У вас есть print("empty search") с возвратом, если поиск пуст, но если вы искали раньше, а затем удалили текст поиска, в вашем случае вы не перезагрузите данные.

Поэтому я бы сделал это вот так в псевдокоде:: Всегда используйте filterData (в методах DataSource), а detailSection — это полные данные.

func searchBar(_ searchBar: UISearchBar, textDidChange searchText: String) {
    if search.empty() {
        filteredData = detailSection //Full data
    } else {
         filteredData = filterAccordingToSearchText()
    }
    tableView.reloadData()

}

Теперь пойдем немного дальше:

Вам следует использовать value.range(of: searchText, options: .caseInsensitive) != nil вместо lowerCase() для каждого значения.

Так что item.title.contains(searchText) может быть item.title.range(of: searchText, options: .caseInsensitive) != nil.

С помощью более высокого метода filter (но нет ничего плохого в том, чтобы выполнить руководство по циклу, это базовый навык, который вам все равно нужно освоить):

filteredData = detailsSection.filter { item in 
    if item.title.range(of: searchText, options: .caseInsensitive) != nil { 
        return true
    } else if item.translation.range(of: searchText, options: .caseInsensitive) != nil { 
        return true
    } 
    return false 
}

Полный код должен быть: var DetailSection = DetailSection var filteredData = DetailSection

//Here don't decode EACH time to know the count
func decodeSection() {
    let url = Bundle.main.url(forResource: "detailSections", withExtension: "json")!
    let data = try! Data(contentsOf: url)
    let result = try! JSONDecoder().decode(DetailSections.self, from: data)
    self.detailSection = result.detailSections
}

override func viewDidLoad() {
    ...
    decodeSection()
    table.reloadData()
}

func searchBar(_ searchBar: UISearchBar, textDidChange searchText: String) {
    
    guard !searchText.trimmingCharacters(in: .whitespacesAndNewlines).isEmpty else {
        filteredData = detailSection //search is empty, the "filtered" is equal to put everything
        table.reloadData()
        return
    }
    
    filteredData.removeAll()
    //Search Text is NOT empty, we filter
    for item in detailSection {
        if item.title.contains(searchText) {
            filteredData.append(item)
        } else if item.translation.contains(searchText) {
            filteredData.append(item)
        } else {
            print("\(searchText) not found title \(item.title) nor in translation \(item.translation) -> Ignored")
        }
    }
    
    table.reloadData()
}

func tableView(_ tableView: UITableView, numberOfRowsInSection section: Int) -> Int {
    return filteredData.count
}

func tableView(_ tableView: UITableView, cellForRowAt indexPath: IndexPath) -> UITableViewCell {
    let cell = tableView.dequeueReusableCell(withIdentifier: "DetailCell", for: indexPath) as! DetailCell
    let item = filteredData[indexPath.row]
    cell.title.text = item.title
    cell.translation.text = item.translation
    cell.transcription.text = item.transcription
    cell.selectionStyle = .none
    return cell
}