Как получить значения из базы данных firebase с помощью флаттера

Для этого вам понадобится FirebaseAnimatedList. Все, что вам нужно сделать, это передать ссылку на вашу базу данных, после чего вы сможете получить доступ к своим данным с помощью snapshot.value.

return FirebaseAnimatedList(
    query: FirebaseDatabase.instance.reference().child('users/' + user.uid),
    itemBuilder: (context, snapshot, animation, index) {
      return Row(children: <Widget>[
        Text(
          snapshot.value['source'],
          style: TextStyle(fontSize: 13.0),
        ),
      ]);
    });

Проверьте пример приложения это в плагине Flutter Firebase Database.