Как проверить, заполнены ли обязательные поля в html-форме?

Сделайте проверку в публикации части вашего php

    if (isset($_POST['save']))
    {
            $fields=array();
            $fields['Nimi']   = $_POST['name'];
            $fields['Kool'] = $_POST['school'];
            $fields['Aadress'] = $_POST['address'];
            $fields['Telefon'] = $_POST['phone'];
            $fields['Email'] = $_POST['email'];

            foreach ($fields as $key => $val)
            {   if (trim($val)=='')
                {   $errmsg=$key." is not filled!";
                    break;
                }
            }
    }

if ($errmsg == '')
{ //do your saving here
  exit();
}

if (!isset($_POST['save']) || $errmsg != '')
{ //show your form here
 // and make it to return to the same page on submit
 //<input name = "save" type = "submit" value = "Save" onclick = "return true;">
}

Что касается JS, вы должны проверить его перед отправкой. Обычно это включает привязку некоторой функции проверки к триггеру события onsubmit формы, и эта функция проверки будет состоять из некоторых тестов для каждого интересующего вас поля.

Большинство JS-библиотек имеют реализации проверки, которые сделают большую часть работы за вас, что звучит так, как будто это может быть хорошей идеей для вас. Поиск в Google "проверки на стороне клиента" даст бесконечные результаты, но это (я не зависящий от библиотеки, читайте и выбирайте сами) должно помочь вам начать работу *:

http://blog.jquery.com/2007/07/04/about-client-side-form-validation-and-frameworks/

http://tetlaw.id.au/view/blog/really-easy-field-validation-with-prototype/

http://dojotoolkit.org/book/dojo-book-0-4/part-4-more-widgets/forms/validation

* это учит вас ловить рыбу

Для дополнительной благодарности, как только вы узнаете, как это сделать на PHP и JavaScript из ответов Riho и annakata, создайте способ определения ограничения поля в единой форме, которая может быть отображена как JavaScript для проверки на стороне клиента и запущена на сервер.

Поскольку вам нужны и то, и другое (клиентская для удобства пользователя, серверная, потому что на данный момент мы уже не доверяем клиенту), кажется вполне приличной идеей поддерживать и то, и другое из единой инфраструктуры.

Библиотека LiveValidation вам очень поможет: http://www.livevalidation.com/