Обнаружить прямоугольник, пересекающий круг

Квадратное расстояние от центра круга до ближайшей точки прямоугольника можно рассчитать как (ноль означает, что центр круга находится внутри прямоугольника):

 dx = Max(Abs(cx - rect.center.x) - rect.width / 2, 0)
 dy = Max(Abs(cy - rect.center.y) - rect.height / 2, 0)
 SquaredDistance = dx * dx + dy * dy

Затем сравните его с квадратом радиуса

Прямоугольник имеет 4 угла, вы должны проверить, не выходит ли ни один из этих 4 углов вне круга. Если у вас есть центр круга и его радиус, расстояние от углов каждого прямоугольника до центра круга должно быть меньше радиуса круга.

Не совсем понял ваш вопрос, отвечу на два возможных вопроса:

1) Чтобы проверить, пересекается ли прямоугольник с кругом: сначала вы находите ближайшую точку прямоугольника к центру круга, а затем проверяете, находится ли эта точка в пределах радиуса круга от центра. Такие методы, как «проверять только углы» или «проверять сегменты прямоугольника», не работают и содержат контрпримеры.

Вот пример кода:

struct Rect
{
    double minX, maxX;
    double minY, maxY;
};

struct Circle
{
    double cX, cY, Radius;
};

double Clamp(double val, double lo, double hi) // use std::clamp if you have C++17
{
    if (val < lo) return lo;
    if (val > hi) return hi;
    return val;
}

double Sqr(double val) {return val*val;}

bool RectangleIntersectsCircle(Rect R, Circle C)
{
    double closestX = Clamp(C.cX, R.minX, R.maxX);
    double closestY = Clamp(C.cY, R.minY, R.maxY);

    return Sqr(closestX - C.cX) + Sqr(closestY - C.cY) < Sqr(C.Radius);
}

2) Чтобы проверить, полностью ли прямоугольник находится внутри круга: просто проверьте, все ли 4 угла прямоугольника находятся внутри круга.

bool RectangleInsideCircle(Rect R, Circle C)
{
    double fartherstX = max(fabs(R.minX - C.cX), fabs(R.maxX - C.cX));
    double fartherstY = max(fabs(R.minY - C.cY), fabs(R.maxY - C.cY));

    return Sqr(fartherstX) + Sqr(fartherstY) < Sqr(C.Radius);
}