Сортировать по начальной букве

Используйте конструктор RegExp, чтобы создать регулярное выражение:

new RegExp(`^${letter}`, "i")

https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Guide/Regular_Expressions

Using the constructor function provides runtime compilation of the regular expression. Use the constructor function when you know the regular expression pattern will be changing, or you don't know the pattern and are getting it from another source, such as user input.

Вы можете попробовать это, просто соедините строку:

let letter = req.params.letter || 'a';

let allMoviesStartedWithLetter = await Movies.find({
    name : {$regex : '^'+letter, $options: 'i'}
}).count();