Введите число со значением 01 в toString в Javascript

К сожалению, для этого варианта использования вы не можете использовать type = "number", потому что вы не хотите, чтобы 01 переходил в 1. Используйте type = "text", и у вас может быть событие onChange для принудительного применения только цифр с использованием регулярного выражения.

Если вы просто хотите проверить, сколько букв / цифр в вашем поле ввода, вы можете проверить это следующим образом

document.getElementById("exp-mm").value.split("").length

var e = document.getElementById("exp-mm");

document.getElementById("btn").addEventListener("click", function(){

  console.info(e.value.length)
})

<input id = "exp-mm" maxlength = "2" type = "number">
<button id = "btn">Count</button>

Вот пример того, что вы пытаетесь сделать, на основе документации проверка формы на MDN.

https://jsfiddle.net/xbq3tf3t/1/

HTML:

<!-- Learn about this code on MDN: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Learn/HTML/Forms/Form_validation -->

<form>
  <label for = "month">Expiry month (mm)</label>
  <input id = "month" required pattern = "0?[1-9]|1[0-2]">
  <button>Submit</button>
</form>

<div>
Length: <span id = "length"></span>
</div>

JavaScript:

document.getElementById('month')
  .addEventListener('keyup', event => {
    const element = document.getElementById('length');
    element.innerText = event.target.value.length;
  });

CSS:

input:invalid {
  border: 2px dashed red;
}

input:valid {
  border: 2px solid black;
}