Не удалось отследить событие входа в moengage.
Я ожидаю получить событие входа в систему, когда пользователь входит в систему с использованием типа тега в качестве входа. Но не могу понять, что еще мне нужно настроить, чтобы отслеживать это событие.

Всем тегам GTM нужен триггер. Вам необходимо активировать этот тег login, когда пользователь входит в систему. Он не может срабатывать автоматически.
Создайте пользовательское событие, скажем login_event, а затем добавьте этот триггер в тег входа.
Обязательно вызовите это login_event из своего веб-приложения во время входа в систему.