Есть ли простой способ инвертировать треугольную (верхнюю или нижнюю) матрицу?

Да, используйте обратная замена. Стандартный алгоритм инвертирования матрицы состоит в том, чтобы найти ее LU-разложение (разложение на нижнетреугольную и верхнетреугольную матрицу), использовать обратную подстановку на треугольных частях, а затем объединить результаты, чтобы получить инверсию исходной матрицы.

Если вы говорите о вещественных числах одинарной точности, взгляните на исходный код подпрограмм LAPACK STRTRI и STRTI2.

Вау, это почти половина содержания курса численного анализа. Стандартные алгоритмы сделают это, и есть куча стандартного кода здесь. Конечным источником для этой и большинства других обычных задач численного анализа является Числовые рецепты.

Учитывая нижнюю треугольную матрицу L, обратная подстановка позволяет решить систему L x = b быстро для любой правой части b.

Чтобы инвертировать L, вы можете решить эту систему для правых частей e1 = (1,0, ..., 0), e2 = (0,1, ..., 0), ..., en = (0 , 0, ..., 1) и объединить полученные векторы решений в единую (обязательно нижнюю треугольную) матрицу.

Если вас интересует решение в замкнутой форме, диагональные элементы обратного преобразования являются обратными по отношению к исходным диагональным элементам, а формула для остальных элементов обратного преобразования становится все более и более сложной по мере удаления от диагонали. .

Не переворачивайте его, если можете. Это одна из основных заповедей числовой линейной алгебры.

Гораздо быстрее и стабильнее в числовом отношении хранить саму матрицу L в памяти и вычислять

inv(L)b

Отметим, что обычный алгоритм его инвертирования требует решения систем

inv(L)[1 0 0 ...],
inv(L)[0 1 0 ....],
inv(L)[0 0 1 ....]

Будучи B инверсией A, треугольной матрицы, вы можете использовать следующий код MATLAB:

n = size(A,1);
B = zeros(n);
for i=1:n
    B(i,i) = 1/A(i,i);
    for j=1:i-1
        s = 0;
        for k=j:i-1
            s = s + A(i,k)*B(k,j);
        end
        B(i,j) = -s*B(i,i);
    end
end