Как лучше всего рассчитать трехмерный (или n-D) центроид?

Нет, это единственная формула для центроида набора точек. См. Википедию: http://en.wikipedia.org/wiki/Centroid

Ты получил это. Вы вычисляете центроид или средний вектор.

«Более точный центроид» Я считаю, что центроид определяется так, как вы его рассчитали, поэтому не может быть «более точного центроида».

вы можете использовать суммирование с повышенной точностью - суммирование Кахана - вы это имели в виду?

Да, это правильная формула.

Если у вас много точек, вы можете использовать симметрию задачи (будь то цилиндрическая, сферическая, зеркальная). В противном случае вы можете взять статистику и усреднить случайное количество точек и получить небольшую ошибку.

Потенциально более эффективно: если вы вычисляете это несколько раз, вы можете немного ускорить это, сохранив две постоянные переменные

N  # number of points
sums = dict(x=0,y=0,z=0)  # sums of the locations for each point

затем изменяя N и суммы всякий раз, когда точки создаются или уничтожаются. Это меняет значение с O (N) на O (1) для вычислений за счет увеличения объема работы каждый раз, когда точка создается, перемещается или уничтожается.

Вы неопределенно упоминаете «способ получить более точный центроид». Возможно, вы говорите о центроиде, на который не влияют выбросы. Например, доход домохозяйства средний в США, вероятно, очень высок, потому что небольшое количество богатых людей очень искажает среднее значение; они - «выбросы». По этой причине статистики используют вместо этого медиана. Один из способов получить медиану - отсортировать значения, а затем выбрать значение в середине списка.

Может быть, вы ищете что-то подобное, но для точек 2D или 3D. Проблема в том, что в 2D и выше вы не можете сортировать. Нет естественного порядка. Тем не менее, есть способы избавиться от выбросов.

Один из способов - найти выпуклый корпус точек. Выпуклая оболочка имеет все точки "вне" множества точек. Если вы сделаете это и выбросите точки, которые находятся на корпусе, вы выбросите выбросы, а оставшиеся точки дадут более "репрезентативный" центроид. Вы даже можете повторить этот процесс несколько раз, и результат будет похож на очистку лука. Фактически, это называется «шелушение выпуклой оболочки».

Вопреки распространенному здесь рефрену, существуют разные способы определения (и вычисления) центра облака точек. Первое и наиболее распространенное решение уже было предложено вами, и я буду возражать нет, что в этом нет ничего плохого:

centroid = average(x), average(y), average(z)

«Проблема» здесь в том, что он будет «искажать» вашу центральную точку в зависимости от распределения ваших точек. Если, например, вы предполагаете, что все ваши точки находятся внутри кубической рамки или какой-либо другой геометрической формы, но большинство из них находится в верхней половине, ваша центральная точка также сместится в этом направлении.

В качестве альтернативы вы можете использовать математическую середину (среднее значение экстремумов) в каждом измерении, чтобы избежать этого:

middle = middle(x), middle(y), middle(z)

Вы можете использовать это, когда вас не заботит количество точек, а больше - глобальная ограничивающая рамка, потому что это все - центр ограничительной рамки вокруг ваших точек.

Наконец, вы также можете использовать median (элемент посередине) в каждом измерении:

median = median(x), median(y), median(z)

Теперь это будет как бы делать противоположное middle и фактически поможет вам игнорировать выбросы в вашем облаке точек и найти центральную точку на основе распределения ваших точек.

Более надежный способ найти «хорошую» центральную точку может заключаться в игнорировании верхних и нижних 10% в каждом измерении, а затем вычислении average или median. Как видите, центральную точку можно определить по-разному. Ниже я показываю вам примеры двух 2D облаков точек с учетом этих предложений.

Темно-синяя точка - средний (средний) центроид. Медиана показана зеленым цветом. А середина показана красным. На втором изображении вы увидите именно то, о чем я говорил ранее: зеленая точка находится «ближе» к самой плотной части облака точек, а красная точка находится дальше от нее, с учетом самых крайних границ облака точек. облако точек.

Если ваш вектор n-мерный находится в списке [[a0, a1, ..., an], [b0, b1, ..., bn], [c0, c1, ..., cn]], просто преобразуйте список в массив, а затем вычислите центроид следующим образом:

import numpy as np

vectors = np.array(Listv)
centroid = np.mean(vectors, axis=0)