Найдите точки касания в окружности от точки

Хм, не совсем вопрос алгоритма (люди склонны ошибаться в алгоритме и уравнении). Если вы хотите написать код, сделайте это (вы не указали язык и то, что мешает вам это сделать, что является причиной близких голосов) ... Без этого информация, ваш OP просто запрашивает математическое уравнение, которое здесь действительно не по теме, и, отвечая на это, я тоже рискую (справа) проголосовать против (но это / спрашивали здесь много, с гораздо меньшей информацией и 4 повторными голосами против Я закрыл свое решение снова открыть и ответить на это в любом случае).

Вы можете использовать тот факт, что вы находитесь в 2D, поскольку в 2D перпендикулярные векторы к вектору a(x,y) вычисляются следующим образом:

c = (-y, x)
d = ( y,-x)
c = -d

поэтому вы меняете местами x,y и инвертируете один (который определяет, является ли перпендикулярный вектор CW или Против часовой стрелки). На самом деле это формула вращения, но поскольку мы вращаемся на 90 градусов, cos,sin - это просто +1 и -1.

Теперь нормальный n к любой точке окружности на окружности лежит на линии, проходящей через эту точку, и в центре окружности. Итак, сложив все это вместе, ваши касательные:

// normal
nx = Px-Cx
ny = Py-Cy
// tangent 1
tx = -ny
ty = +nx
// tangent 2
tx = +ny
ty = -nx

Если вам нужны единичные векторы, а не просто деление на радиус a (не уверен, почему вы не называете его r, как остальной математический мир), так что:

// normal
nx = (Px-Cx)/a
ny = (Py-Cy)/a
// tangent 1
tx = -ny
ty = +nx
// tangent 2
tx = +ny
ty = -nx

Переместите круг в начало координат, поверните, чтобы переместить точку на X, и уменьшите масштаб на R, чтобы получить единичный круг.

Теперь касание достигается, когда начало координат (0, 0), (приведенная) заданная точка (d, 0) и произвольная точка на единичной окружности (cos t, sin t) образуют прямоугольный треугольник.

cos t (cos t - d) + sin t sin t = 1 - d cos t = 0

Из этого вы рисуете

cos t = 1 / d

а также

sin t = ±√(1-1/d²).

Чтобы получить точки касания в исходной геометрии, масштабируйте, откручивайте и непереводите. (Это простые операции линейной алгебры.) Обратите внимание, что нет необходимости выполнять прямое преобразование явно. Все, что вам нужно, это d, отношение центра расстояния к радиусу.

Вот еще один способ использования комплексных чисел. Если a - направление (комплексное число длины 1) точки касания на окружности от центра c, а d - (реальная) длина по касательной до точки p, то (поскольку направление касательной равно Я)

p = c + r*a + d*I*a 

перестановка

(r+I*d)*a = p-c

Но длина a равна 1, поэтому, взяв длину, мы получим

|r+I*d| = |p-c|

Мы знаем все, кроме d, поэтому можем решить относительно d:

d = +- sqrt( |p-c|*|p-c| - r*r)

а затем найдите а и точки на круге, по одной для каждого значения d, указанного выше:

a = (p-c)/(r+I*d)
q = c + r*a

Вот один из способов использования тригонометрии. Если вы разбираетесь в триггере, этот метод легко понять, хотя он может не дать точного правильного ответа, когда это возможно, из-за отсутствия точности в триггерных функциях.

Даны точки C = (Cx, Cy) и P = (Px, Py), а также радиус a. На моей диаграмме радиус показан дважды, как a1 и a2. Вы можете легко вычислить расстояние b между точками P и C, и вы увидите, что отрезок b образует гипотенузу двух прямоугольных треугольников со стороной a. Угол theta (также дважды показанный на моей диаграмме) находится между гипотенузой и соседней стороной a, поэтому его можно вычислить с помощью арккосинуса. Угол направления вектора от точки C к точке P также легко найти с помощью арктангенса. Направляющие углы точек касания представляют собой сумму и разность исходного направляющего угла и рассчитанного треугольного угла. Наконец, мы можем использовать эти углы направления и расстояние a, чтобы найти координаты этих точек касания.

Вот код на Python 3.

# Example values
(Px, Py) = (5, 2)
(Cx, Cy) = (1, 1)
a = 2

from math import sqrt, acos, atan2, sin, cos

b = sqrt((Px - Cx)**2 + (Py - Cy)**2)  # hypot() also works here
th = acos(a / b)  # angle theta
d = atan2(Py - Cy, Px - Cx)  # direction angle of point P from C
d1 = d + th  # direction angle of point T1 from C
d2 = d - th  # direction angle of point T2 from C

T1x = Cx + a * cos(d1)
T1y = Cy + a * sin(d1)
T2x = Cx + a * cos(d2)
T2y = Cy + a * sin(d2)

Есть очевидные способы объединить эти вычисления и сделать их немного более оптимизированными, но я оставлю это вам. Также можно использовать формулы сложения и вычитания углов тригонометрии с некоторыми другими тождествами, чтобы полностью удалить тригонометрические функции из вычислений. Однако результат более сложный и трудный для понимания. Без тестирования я не знаю, какой подход более «оптимизирован», но в любом случае это зависит от ваших целей. Сообщите мне, нужен ли вам этот другой подход, но другие ответы здесь все равно дают вам другие подходы.

Обратите внимание, что если a > b, то acos(a / b) выдаст исключение, но это означает, что точка P является внутри окружностью и точки касания нет. Если a == b, то точка P - это окружность на, и есть только одна точка касания, а именно сама точка P. Мой код предназначен для корпуса a < b. Я оставлю вам кодировать другие случаи и определять необходимую точность, чтобы решить, равны ли a и b.

Давайте рассмотрим процесс вывода:

Как видите, если внутренняя часть квадрата <0, это потому, что точка находится внутри окружности. Когда точка находится за пределами окружности, есть два решения, в зависимости от знака квадрата.

Остальное легко. Возьмите atan(solution) и будьте осторожны со знаками, возможно, вам лучше сделать некоторые проверки.
Используйте (2), а затем отмените (1) преобразования, и все.

C# реализация ответа dmuir:

static void FindTangents(Vector2 point, Vector2 circle, float r, out Line l1, out Line l2)
{
    var p = new Complex(point.x, point.y);
    var c = new Complex(circle.x, circle.y);
    var cp = p - c;
    var d = Math.Sqrt(cp.Real * cp.Real + cp.Imaginary * cp.Imaginary - r * r);
    var q = GetQ(r, cp, d, c);
    var q2 = GetQ(r, cp, -d, c);

    l1 = new Line(point, new Vector2((float) q.Real, (float) q.Imaginary));
    l2 = new Line(point, new Vector2((float) q2.Real, (float) q2.Imaginary));
}

static Complex GetQ(float r, Complex cp, double d, Complex c)
{
    return c + r * (cp / (r + Complex.ImaginaryOne * d));
}