Есть ли способ обеспечить количество членов, которое разрешено иметь перечислению?

Это работа для метаклассов. Модуль enum предоставляет метакласс, который вы можете расширить, добавив желаемое поведение. Самый простой способ — определить n в метаклассе.

class ThreenumMeta(enum.EnumMeta):
    """Meta class for making enums with exactly 3 members."""
    n = 3

    def __new__(meta, *args, **kwargs):
        cls = super().__new__(meta, *args, **kwargs)
        if len(cls) not in [0, meta.n]:
            raise TypeError(f'{cls} must have exactly {meta.n} members.')
        return cls

class Threenum(enum.Enum, metaclass=ThreenumMeta):
    """An enum with exactly 3 members."""
    ...

Для этого вам понадобится новый метакласс для каждого значения n. Если вам нужно сделать это с несколькими значениями n или если n неизвестно и должно быть динамическим, тогда вам нужно что-то более гибкое, один метакласс, который позволит вам указать значение n.

class EnumMeta_NMany(enum.EnumMeta):
    """Meta class for making enums with exactly n many members, specified by kwarg."""

    def __new__(meta, *args, n=None, **kwargs):
        cls = super().__new__(meta, *args, **kwargs)
        cls.n = getattr(cls, 'n', None) or n
        if cls.n is None:
            raise TypeError(f'{cls} must specify required number of members with `n` kwarg.')
        if len(cls) not in [0, cls.n]:
            raise TypeError(f'{cls} must have exactly {cls.n} members.')
        return cls

class TwoEnum(enum.Enum, metaclass=EnumMeta_NMany, n=2):
    """An enum with exactly 2 members."""
    ...

class Threenum(enum.Enum, metaclass=EnumMeta_NMany, n=3):
    """An enum with exactly 3 members."""
    ...

Более простой подход — проверить количество Enum членов подкласса в методе __init_subclass__:

class Threenum(enum.Enum):
    def __init_subclass__(cls):
        if len(cls) != 3:
            raise TypeError('Subclass of Threenum must have exactly 3 members.')

Демо здесь

Вы также можете создать такой класс с фабричной функцией:

def exact_enum(number):
    class _ExactEnum(enum.Enum):
        def __init_subclass__(cls):
            if len(cls) != number:
                raise TypeError(
                    f'This Enum subclass must have exactly {number} members.')
    return _ExactEnum

Использование:

class TeenageMutantNinjaTurtles(exact_enum(3)):  # TypeError
    LEONARDO = 'blue'
    DONATELLO = 'purple'
    RAPHAEL = 'red'
    MICHELANGELO = 'orange'

Демо здесь