Расчет средней длины очереди в простой модели массового обслуживания
Почему средняя длина очереди в системе с одной очередью стремится к бесконечности, когда среднее число прибывших равно среднему числу уходящих?
Определите параметры модели очереди:
λ: средняя скорость поступления, то есть скорость поступления клиентов или задач в единицу времени.
μ: Средняя скорость обслуживания, которая представляет собой скорость обслуживания клиентов или задач в единицу времени.
Итак, когда λ=μ, почему длина очереди стремится к бесконечности?
Почему длина очереди стремится к бесконечности? Может ли очередь иметь конечное значение?
@stef Это хорошо известный результат. Это может показаться нелогичным, но математика, лежащая в основе этого, надежна. Почему это происходит? Если бы очередь могла стать отрицательной, то ожидаемое значение при λ=μ было бы начальной длиной строки. Поскольку длина очереди ограничена снизу нулем, существует асимметрия в вероятности увеличения на k элементов и уменьшения на k для k, превышающего текущую длину очереди.
Ответы 1
На эту тему существует много литературы. Например, рассмотрим очереди M/M/1 и определим ρ как коэффициент использования трафика или интенсивность трафика (ρ = λ/μ). Затем вы можете проследить за выводом L, средней длины очереди, здесь или в большинстве учебников по теории массового обслуживания:
L = ρ/(1 – ρ)
При ρ → 1 (т. е. λ → µ) знаменатель (1 - ρ) приближается к 0, что указывает на то, что предел расходится. Таким образом, когда скорость поступления приближается к скорости обслуживания, система достигает точки, в которой длина очереди не ограничена и растет бесконечно с течением времени. Это означает, что на практике очередь будет продолжать неограниченно расти, что приведет к бесконечной средней длине очереди.
Стоит отметить, что это связано, прежде всего, со стохастическим характером процессов поступления и обслуживания. Даже когда средняя скорость прибытия равна средней скорости обслуживания, случайность во времени прибытия и времени обслуживания приводит к периодам, когда количество прибытия временно опережает количество услуг, что приводит к накоплению очереди. Поскольку у системы нет возможности рассеивать это накопление (как это было бы, если бы λ<μ), длина очереди имеет тенденцию неограниченно расти с течением времени.
Возможно, стоит упомянуть формулу Кингмана, которая показывает, что этот результат не ограничивается очередями M/M/1.
Я голосую за закрытие этого вопроса, потому что речь идет о теории массового обслуживания и больше подходит для Информатики — но обязательно сначала прочитайте их рекомендации.